matematicas: noviembre 2011

¿ QUE ES CONICA?
Se llama superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje .
Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.

1.¿QUE ES PARABOLA?
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

$\,a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$
si y sólo si
$\, b^2 - 4ac = 0$
y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma
$\,a x'^2 + b x' + c = 0$ , donde a es distinto de cero.

2.¿QUE ES CIRCUNFERENCIA?

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro .

Circunferencia.

3.¿QUE ES ELIPSE?

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse Geometría analítica: Cónicas

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

4.¿QUE ES HIPERBOLA?
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas $(0, 0) \,$ y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto $(h, k) \,$

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Ejemplos:
a)

$\frac{(x)^2}{25} - \frac{(y)^2}{9} = 1$

$\frac{(x)^2}{9} - \frac{(y)^2}{25} = 1$

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)