viernes, 25 de noviembre de 2011

CONICAS

¿ QUE ES CONICA?
Se llama superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje .
Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.

1.¿QUE ES PARABOLA?
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz .

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

$\,a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$
si y sólo si
$\, b^2 - 4ac = 0$
y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma
$\,a x'^2 + b x' + c = 0$ , donde a es distinto de cero.

2.¿QUE ES CIRCUNFERENCIA?

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro .

Circunferencia.

3.¿QUE ES ELIPSE?

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse Geometría analítica: Cónicas

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse, donde si a corresponde al eje de las abscisas y b al eje de las ordenadas la elipse es horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea, siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h,k), la ecuación es:

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

4.¿QUE ES HIPERBOLA?
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola .

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas $(0, 0) \,$ y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto $(h, k) \,$

$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

Ejemplos:
a)

$\frac{(x)^2}{25} - \frac{(y)^2}{9} = 1$

$\frac{(x)^2}{9} - \frac{(y)^2}{25} = 1$

viernes, 11 de noviembre de 2011

GEOMETRIA ANALITICA

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

lunes, 10 de octubre de 2011

TRIGONOMETRIA Y MEDIDA

Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad

SISTEMA CENTESIMAL

Su unidad de medida es el grado centesimal ( ¶ )

Divide a la circunferencia en 400 partes es decir cada una mide 1 grado centesimal Al angulo recto lo divide en 100 partes es decir 100 grados centesimales

También para cálculos tiene submultiplos que son el minuto y el segundo centesimal

SISTEMA RADIAL

Definición

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s /r, donde θ es ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, $\scriptstyle{\theta}_\text{circunferencia}$ , que sustiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

$\theta_\text{circunferencia}=\frac {L_\text{circunferencia}}{r} =\frac {2 \pi r}{r}=2 \pi\ \text{rad}\,$

Utilidad

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

Análisis dimensional

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$
$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$

donde x se expresa en radianes.

Equivalencias

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°
La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Radianes	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2π/3	3π/4	5π/6	π	7π/6	5π/4	4π/3	3π/2	5π/3	7π/4	11π/6	2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

El Radián tiene una unidad derivada llamada π Radian por segundo (πRad/s). Esta tiene una equivalencia con las Rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente con la formula que sigue:

De Rpm a πRad

$\frac{Rpm} {2} \cdot 60 = \pi Rad$ que con la formula simplificada: $\frac{Rpm} {1} \cdot 30 = \pi Rad$

De πRad a Rpm

$\frac{\pi Rad} {60} \cdot 2 = Rpm$ que con la formula simplificada: $\frac {\pi Rad} {30} =\ Rpm$

martes, 13 de septiembre de 2011

FIGURAS CONICAS

CONO

.
     El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Ver revolución cono


    Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL

AL = p · r · g